傅里葉級數的幾何意義–巧妙記憶公式的方法最近我在重新學習偏微分方程的時候又遇到傅里葉級數了我曾經覺得這個公式非常繁瑣用到的時候就去翻書查看沒法自己信心滿滿的寫出來現在我找到訣竅了可以不需要任何參考書給我一個周期函數我可以馬上寫出它的傅里葉級數訣竅就在于從幾何的角度來看待傅里葉級數當我們把一個周期函數表達成傅里葉級數時其實我們只是在做一個動作那就是把函數投影到一系列由三角函數構成的坐標軸上1什么是投影我們先來復習什么是投影吧考慮一個簡單的二維平面的例子如下圖所示給定兩個向量u和v我們從u的末端出發作到v所在直線的垂線得到一個跟v同向的新向量p這個過程就稱作u到v所在直線的投影得到的新向量p就是u沿v方向的分量圖中的系數c是p跟v的比例也就是u在v軸上的坐標我們可以用尺規作圖來完成投影這個動作問題關于同位角,內錯角高級傅里葉公式高級傅里葉公式,同旁內角的題財稅[2014]109號 關于促進企業重組有關企業所得稅處理問題的國土資發[2016]191號關于進一步加快宅基地和集體建設用地確權登記發證有關問題的快遞公司問題件快遞公司問題件貨款處理是如果給定的向量u和v都是代數形式的我們怎么用代數的方法求c我相信只要有基本線性代數知識的同學都可以輕松解決這個問題我們知道u-cv這個向量是正交于v的用數學語言表達就是u-cvTv0我們馬上就可以得到c的表達式如下12向量在一組正交基上的展開在講傅里葉級數之前我們還需引進線性代數中正交基的概念如果這個概念你覺得陌生就把它想成是互相垂直的坐標軸回到剛才這個例子如下圖所示現在我們引進一組正交基v1v2那么u可以展開成以下形式2從圖上來看2式其實說的是我們可以把u投影到v1和v2這兩個坐標軸上c1和c2就是u的新坐標問題是我們怎么求c1和c2呢你會說我們可以2式兩邊同時乘以v1或v2然后利用它們正交的性質來求c1c2沒錯數學上是這么做的但是利用之前關于投影的討論我們可以直接得出答案直接利用1式就可以得到如下的表達式33傅里葉級數的幾何意義現在我們已經明白一件事情了如果想把一個向量在一組正交基上展開也就是找到這個向量沿每條新坐標軸的坐標那么我們只要把它分別投影到每條坐標軸上就好了也就是把1式中的v換成新坐標軸就好了說了半天這些東西跟傅里葉級數有什么關系我們先回憶一下傅里葉級數的表達式給定一個周期是2l的周期函數fx它的傅里葉級數為4其中系數表達式如下5我不喜歡
記憶這些公式有辦法可以更好的理解他們來幫助記憶嗎答案是有的那就是從幾何的角度來看傅里葉告訴我們fx可以用下面這組由無限多個三角函數包括常數組成的正交基來展開6這里我們需要在廣義上來理解正交我們說兩個向量或兩個函數之間是正交的意思是它們的內積innerproduct為零內積在有限維的向量空間中的形式為點積dotproduct在無限維的函數空間中對于定義在區間[ab]上的兩個實函數uxvx來說它們的內積定義為7正交基6中的每個函數都可以看做是一條獨立的坐標軸從幾何角度來看傅里葉級數展開其實只是在做一個動作那就是把函數投影到一系列由三角函數構成的坐標軸上上面5式中的系數則是函數在每條坐標軸上的坐標現在的問題是我們不能直接用1式來求這些坐標了因為它只適用于有限維的向量空間在無限維的函數空間我們需要把1式中分子分母的點積分別替換成7式那么5式中的所有系數馬上可以輕松的寫出8值得注意的是8式中所有積分可以在任意一個長度是2l的區間內進行也就是說不管是[-ll]還是[02l]答案都是一樣的有同學會說老師上課教的是對4式兩邊乘以1cosnπxl或sinnπxl然后積分利用這些函數之間的正交性來得到5式這些當然是對的而且我們應該學會這種推導來加深對正交性的理解但是在應用上我更喜歡用幾何的角度來看傅里葉級數把函數看成是無限維的向量把傅里葉級數跟幾何中極其簡單的投影的概念聯系起來這樣學習新知識就變得簡單了而且可以毫無障礙的把公式記住甚至一輩子都難忘熟悉傅里葉級數的同學會問那么對于復數形式的傅里葉級數我們是否也能用幾何投影的觀點來看然后寫出級數中的所有系數呢答案是肯定的給定一個周期是2l的周期函數fx它的傅里葉級數的復數形式為9其中系數表達式如下10這意味著我們用了下面這組正交基來展開原函數11我們之前提到了兩個函數正交意思是它們的內積為零對于定義在區間[ab]上的兩個復函數uxvx來說它們的內積定義為12其中v加上劃線意思是它的共軛10中指數函數里的負號就是因為取了共軛的關系現在我們同樣可以把原函數分別投影到11中的每個函數所
在的坐標軸來求出對應的坐標也就是系數cn13這里我想強調一下這個正交基的重要性在一個有限維的向量空間給定任何向量都可以被一組基展開它可以不必是正交的這個時候展開項中的系數也就是沿這組基中任一坐標軸的坐標需要求解一個線性方程組來得到只有當這組基是正交的時候這些系數才能從給定向量往各坐標軸上投影得出也就是1式同樣的在無限維的函數空間我們可以把一個函數在某個基中展開但是只有在正交基中展開項中的系數才能看成是函數投影的結果最后做一個總結不管是向量u還是函數u他們都可以被一組正交基vnn1N有限個向量或vnn1∞無限個函數展開如下14上式中的cn代表u在vn所在的坐標軸上投影產生的坐標而14式中內積的定義視情況而定在有限維的向量空間實數域向量u和v的內積是點積uTv在無限維的函數空間函數ux和vx的內積的通用形式是12如果它們是實函數那么12就可以簡化成7的形式我們可以看到用幾何投影的觀點來看待傅里葉級數理解變得更加容易因為我相信所有人都能理解投影的概念同時傅里葉級數所有的公式都可以輕松的記住想要遺忘都難了我們在學習不同學科的時候可以經常的去做聯系嘗試著用不同的角度去看待同一個問題我相信這么做是很有好處的后記寫于2013年3月28號這篇文章的核心思想其實是來自MIT的教授GilbertStrang寫的《IntroductiontoLinearAlgebra》這本書第三版我在好幾個月前重新學了一遍線性代數就是看MIT的開放課程授課老師是Gilbert他用的書就是上面提到這本我從沒有如此享受過數學課以前學的數學課似乎老師更注重數學運算和推導而不是討論數學背后的本質Gilbert的講課方式講究原理也就是"why而不是"how同時也有非常有趣的應用有興趣的同學可以去聽聽這門課對于這篇文章提到的從幾何觀點來看傅里葉級數的思想相關內容可以在書本最后關于傅里葉級數的討論中找到值得注意的是Gilbert默認函數周期是2PI而且沒有涉及復數形式這篇文章主要是把幾何投影與傅里葉級數的概念整合在了一起考慮了一般的周期函數同時涉及了傅里葉級數的復數形式希望能對一些朋友有所幫助
